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ETC

フーリエ級数展開メモ
道具としてはつかってても、理屈はよく分からないってのが
往々にしてあるわけですが・・・
間違ってるかもしれませんが、なんとなく納得がいったので
忘れないように書いておこう。



\large f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \{ a_n\cos(nwt)+b_n\sin(nwt)\}

ただし

\large a_0=\int_0^T f(t)dt

\large a_n=\int_0^T f(t)\cos(nwt)dt

\large b_n=\int_0^T f(t)\sin(nwt)dt
　
ここでオイラーの公式


\large e^{\theta}=\cos\theta+i\sin\thetaより

\large \cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})

\large \sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})

これを用いて


\large f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \{\frac{a_n}{2}(e^{inwt}+e^{-inwt}) + \frac{b_n}{2i}(e^{inwt}+e^{-inwt})\}

\large =a_0+\sum_{n=1}^\infty \{\frac{a_n}{2}(e^{inwt}+e^{-inwt}) - \frac{b_ni}{2}(e^{inwt}+e^{-inwt})\}

\large =a_0+\sum_{n=1}^\infty \{\frac{1}{2}(a_n-b_ni)e^{inwt} + \frac{1}{2}(a_n+b_ni)e^{-inwt}\}
　
ここで


\large A_n=\frac{1}{2}(a_n-b_ni)=\int_0^T f(t)\{\cos(nwt)-\sin(nwt)\}dt=\int_0^T f(t)e^{-nwt}dt

\large B_n=\frac{1}{2}(a_n+b_ni)
とおけば


\large f(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \{A_ne^{inwt} + B_ne^{-inwt}\}

\large =a_0 + \sum_{n=1}^\infty A_ne^{inwt} + \sum_{n=1}^\infty B_ne^{-inwt}

\large =a_0 + \sum_{n=1}^\infty A_ne^{inwt} + \sum_{n=-1}^{-\infty} B_(-n)e^{inwt}
　
また、cosが遇関数、sinが奇関数で


\large a_{(-n)}=\int_0^t f(t)\cos((-n)wt)dt=\int_0^t f(t)\cos(nwt)dt=a_n

\large b_{(-n)}=\int_0^t f(t)\sin((-n)wt)dt=-\int_0^t f(t)\sin(nwt)dt=-b_n
であり
　
挙句に\large B_{-n}と\large A_0は


\large B_{-n}=\frac{1}{2}(a_{-n}+b_{-n}i)=\frac{1}{2}(a_n-b_ni)=A_n

\large A_0=\frac{1}{2}(a_0-b_0i)=a_0
であるから
　


\large f(t)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty A_ne^{inwt} + \sum_{n=-1}^{-\infty} A_ne^{inwt}

\large =\sum_{n=-\infty}^\infty C_ne^{inwt}

　

ただし\large C_nは

 n=0のとき\large A_0

 n<0のとき\large B_{-n}(つまり\large A_{n})

 n>0のとき\large A_n

となる数列。

これはもともと\large A_nがn=1,2,3・・・という想定のため、新しく置き換えただけ。
　
まとめると



複素フーリエ級数は

\large f(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty C_ne^{inwt}

　

複素フーリエ級数展開

\large C_n=\int_0^T f(t)e^{-nwt}dt
　
通常フーリエ級数展開ではcos,sinの直交性を利用していたが
複素フーリエ級数展開は？


\large C_m=\int_0^T f(t)e^{-mwt}dt

\large =\int_0^T \sum_{n=-\infty}^\infty C_ne^{inwt}e^{-mwt}dt

\large =\int_0^T \sum_{n=-\infty}^\infty C_ne^{iwt(n-m)}dt
　
nは\large -\inftyから\large \inftyまで変動するが
m=nになるときは、そもそも


\large C_m=C_n
である。
\large m\not=nのときは


\large C_m=\int_0^T \sum_{n=-\infty}^\infty C_ne^{iwt(n-m)}dt

\large =\sum_{n=-\infty}^\infty C_n \int_0^T e^{iwt(n-m)}dt

\large =0
オイラーの公式から考えてもeの0からTまでの積分は0になるので結果は0となり
cos,sinで考えた級数展開と同じような現象が複素フーリエでもeで確認できる。